Math Mar∞m

自由気ままに,書いていきます。

紙を折りたいだけ折るために必要な紙の長さは?

※ 2021/4/12:一部の式を訂正しました。

こんにちは。Math。です。

つい先日,トイレットペーパーのストックが切れかけていたので,近所へ買い出しに行きました。今までは全く気にしたことがなかったんですが,あれって 1 ロール 50 m もあるんですね。驚きです…

それでふと,「紙は 10 回も折れない」という話を思い出しました。そして,「じゃあ逆に,10 回折ろうと思ったら何 m の長さが必要なんだろうか」という疑問が生まれました。

調べてみると,Britney Gallivan さんという方がすでに同じことをされていたようです。

さらに,この記事では「両端を折ることができない」という仮定の妥当性まで議論されていて,もはや私の出る幕はないんですが,せっかく思いついたことなので計算してみます。

問題の設定と結果

長さ  L,厚さ  t の紙を図 1 のように  n 回折ることを考えます。

f:id:MathMaru:20210410192452p:plain:w400
図 1.紙の折り方

これはちょうど,冒頭で紹介した記事の Fig.2 の折り方に該当します。軽く調べたところ,この折り方についての式は見当たらなかったので,以下ではこれについて計算していきます。

ここで,中央の平坦な部分の長さを  \ell とし,折り曲げた紙の長さは紙の外側を基準に測るものとします。

このとき,紙の長さ  L と折る回数  n の関係は次式で表せます。

紙の長さと折る回数の関係
 \displaystyle
        L = 2^n\ell + 2^{n-1}t + \frac{\pi t}{6}(2^n + 4)(2^n - 1) + \frac{t}{6}(2^n-4)(2^n-2)
証明

 n 回折られた紙を次の図 2 のように,いくつかの部分に分けて考えます。

f:id:MathMaru:20210410215742p:plain:w500
図 2.長さの求め方

図 1 と比較すると分かりやすいと思います。灰色部分は長さが  \ell の紙が  2 ^ n 枚積層した部分,赤色部分は半円状に曲がった紙が積層した部分,青色部分が灰色部分から少しはみ出た紙が積層した部分,緑色部分が紙の両端の部分です。

(i)灰色部分

長さ  \ell の紙が  2 ^ n 層あるので,この部分が占める紙の長さは  2 ^ n\ell です。

(ii)緑色部分

長さ  2 ^ {n-2}t の紙が  2 層あるので,この部分が占める紙の長さは  2 ^ {n-1}t です。

(iii)赤色部分

半円は小さい順に 1 層,2 層,4 層,8 層,…, 2 ^ {n-1} 層となっています。

f:id:MathMaru:20210410204955p:plain:w300
図 3.半円部分

ここで, 2 ^ k 層の半円が占める紙の長さを求めてみると

 \displaystyle
        \sum_{i=1}^{2^k} k \pi t = \frac{\pi t}{2}(4^k+2^k)

となります。よって,赤色部分が占める紙の長さは

 \displaystyle
        \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\pi t}{2}(4^k+2^k) = \frac{\pi t}{6}(2^n + 4)(2^n - 1)

です。

(iv)青色部分

この部分は左から順に

 \displaystyle
        (\textbf{紙の長さ},\ \textbf{層の数}) = (2t,2),\ (4t,2+4),\ (8t,2+4+8),\ \ldots,\  (2^{n-2}t,2^{n-1}-2)

となっています。よって,この部分が占める紙の長さは

 \displaystyle
        \sum_{k=1}^{n-2} 2^kt \cdot (2^{k+1} - 2) = \frac{t}{6}(2^n-4)(2^n-2)

です。

したがって,(i)~(iv)を足し合わせることで,紙の全体の長さは

 \displaystyle
        L = 2^n\ell + 2^{n-1}t + \frac{\pi t}{6}(2^n + 4)(2^n - 1) + \frac{t}{6}(2^n-4)(2^n-2)

と求まります。■

必要な紙の長さ

図 1 の  \ell が 0 以上あれば,少なくとも  n 回は折ることができると考えられます。すなわち,紙の長さ  L

 \displaystyle
    L \ge 2^{n-1}t + \frac{\pi t}{6}(2^n + 4)(2^n - 1) + \frac{t}{6}(2^n-4)(2^n-2)

を満たせば, n 回折ることができると言えそうです。

実際に数値を代入して計算してみます。手元のものさしでトイレットペーパーを測ったところ,芯の直径が約 3.5 cm,紙の部分の厚さが約 3 cm でした。したがって,トイレットペーパーの厚さは約 0.12 mm(巻き数は約 244 回)と計算できます1

そこで,紙の厚さを 0.12 mm として,いくつかの  n に対して上式の右辺の値を求めると次のようになります。

表.折る回数と  L の最小値
 n 5 6 7 8 9 10 15 20
 L の最小値 8.9 cm 35 cm 1.4 m 5.5 m 22 m 87 m 89 km 91,075 km

地球一周が約 40,000 km なので,図 1 の方法で紙を 20 回折るためには地球 2 周分以上の長さが必要ということですね。そりゃ無理だ…

おわりに

というわけで,紙を折るために必要な紙の長さの式を導出してみました。注意しておくと,あくまでも図 1 の折り方に対するものなので,折り方を変えることで表の数値よりも短い紙で折ることができます2

内容自体は高校数学レベルなので難しくないんですが計算は複雑なので,もし間違いを見つけた方はご連絡ください。

それでは。

参考文献


  1. トイレットペーパーの厚さを  t mm,巻き数を  n 回とすると連立方程式が立てられます。ただし,自然数の総和が出てきます。
  2. 例えば,冒頭の記事の Fig.1 の折り方が該当します。

Fibonacci 数列の加法定理と階段

※ 2021/4/11:参考文献の閲覧日を追記しました。

こんにちは。Math。です。

花粉症が中々治まってくれません。ツラいです…

さて,人生 2 回目となる記事のテーマは 「Fibonacci 数列の加法定理」です。数式入力の練習を兼ねて書いていこうと思います。

いくつかのサイトを見ていると,この定理は数学的帰納法で証明されるようです。なので,ここでは趣向を変えて,Fibonacci 数列と階段との関係を用いて証明してみます。

Fibonacci 数列

あまりにも有名な数列なので,ここで説明する必要もない気がしますが,今回は数式入力の練習も兼ねているので書いておきます。

Fibonacci 数列

Fibonacci 数列  \{F _ n\} とは,


        F_1 = F_2 = 1, \quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n

で定まる数列のことです。

よく知られたように,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … と続きます。

さて,この Fibonacci 数列は次のような性質をもっています。

性質

 n 段の階段を 1 段または 2 段ずつ上る方法は  F _ {n+1} 通り。

0 段の階段はないので, n\ge 1 とします。

証明

 n 段の階段の上り方の数を  a _ n とおきます。 a _ 1=1 a _ 2=2 です。また,便宜上, a _ 0=1 と定めておきます。

次に, n+2 段の階段を次の 2 通りに分けて数えます。

(i)初めの 1 歩を 1 段で上る場合

この場合,残り  n+1 段を上ればよいので,その上り方は  a _ {n+1} 通りあります。

(ii)初めの 1 歩を 2 段で上る場合

この場合,残り  n 段を上ればよいので,その上り方は  a _ n 通りあります。

(i)と(ii)より, n+2 段の階段の上り方について  a _ {n+2}=a _ {n+1}+a _ n が成り立ちます。この漸化式は,Fibonacci 数列が満たす漸化式  F _ {n+2}=F _ {n+1}+F _ n と同じ形をしています。しかも  a _ 0=F _ 1=1 a _ 1=F _ 2=1 ですから,より一般に, a _ n=F _ {n+1} が成り立ちます。

したがって, n 段の階段の上り方は  F_{n+1} 通りです。■

この性質についてはさまざまなサイトで証明されているので,分かりづらかった方はそちらも参照していただければと思います。

ここでは,この性質を「階段性質」とよぶことにします。

加法定理

三角関数の加法定理のように,Fibonacci 数列にも加法定理が成り立ちます。

Fibonacci 数列の加法定理

        F_{m+n} = F_m F_{n+1} + F_{m-1} F_n

ただし,添え字が 0 以下とならないように  m\ge 2 n\ge 1 としておきます。

では早速,階段性質を用いて証明してみます。

証明

 m+n-1 段の階段を考えます。階段性質より,この階段の上り方は  F_{m+n} 通りです。これを次の 2 通りに分けて数えます。

(i) m-1 段目を踏む場合

階段性質より, m-1 段目までの上り方は  F_m 通りです。そこからさらに  m+n-1 段目までは  n 段上ればよいので,その上り方は  F_{n+1} 通りです。よって, m-1 段目を踏む場合の上り方は全部で  F _ mF _ {n+1} 通りあります。

(ii) m-1 段目を踏まない場合

階段性質より, m-2 段目までの上り方は  F_{m-1} 通りです。そこから  1 歩で  2 段上り, m 段目に来ます。そこから  m+n-1 段目までは  n-1 段上ればよいので,その上り方は  F_n 通りです。よって, m-1 段目を踏まない場合の上り方は全部で  F _ {m-1}F _ n 通りあります。

(i)と(ii)より, F _ {m+n}=F _ mF _ {n+1}+F _ {m-1}F _ n が成り立ったので証明できたと思いきや,これだけでは不十分です。

なぜなら, m=2 n=1 の場合,(i)や(ii)の中に 0 段の階段が登場してしまうからです。

よって,それらの場合だけ別に証明しておきます。

 m=2 の場合,

 \begin{aligned}
        \textbf{定理の左辺} &= F_{2+n} = F_{n+1} + F_n\\
        \textbf{定理の右辺} &= F_2 F_{n+1} + F_1 F_n = F_{n+1} + F_n
    \end{aligned}

となり,定理が成り立ちます。同様に, n=1 の場合,

 \begin{aligned}
        \textbf{定理の左辺} &= F_{m+1} = F_m + F_{m-1}\\
        \textbf{定理の右辺} &= F_m F_2 + F_{m-1} F_1 = F_m + F_{m-1}
    \end{aligned}

となり,定理が成り立ちます。

以上で, m \ge 2 n \ge 1 に対して加法定理が成り立ちます。■

おわりに

それにしても Fibonacci 数列,本当に有名ですね。少し調べるだけでも山ほど関連サイトが出てきます。中には中学入試に関するものもあって驚きました。

それだけ記事が書かれる理由はやはり,単純な数列に見えて実は,自然界の至るところに現れたり,黄金比と関係していたりと,とにかく関連する話題が尽きないからでしょうか。

数式入力の良い練習にもなったので,今回はこのあたりで失礼します。

参考文献

はじめてのブログ

アイサツはタイセツ

こんにちは。そして,はじめまして。Math。(ますまる)といいます。

近頃は少しずつ暖かい日が増えてきて,本当に嬉しいです。新年度が始まって一週間くらいが経ち,今日は街中で入学式帰りの学生と親御さんを見かけました。

春ですねぇ…

さて,今更ながら人と話す機会がめっきり減りまして,以前にも増して忘れっぽくなってきたので,アウトプットがてらブログを始めてみた次第です。

ブログは初めてで右も左も分からない私ですが,一歩一歩,着実に,更新していきたいと思います。

さてさて何を書いていこうか…

具体的な方針は決めていませんが,先ほども書いたように,ひとまずは私の頭の中をアウトプットしていきます。

私は数学が好きなので,恐らく,数学関係の話題が多くなると思います。ほかには日常で思ったことや感じたこと,好きな漫画や音楽とかについても書いていけたらなぁと思います。

おわりに

初めての記事投稿ということで,少ないですがこれくらいでご容赦くださいませ。

今はまだブログのデザインがあまりにもシンプルなので,もう少しだけ,ほんの少しだけ,オリジナリティを出してみたいです。

最後に,この記事を読んでくださった方,ありがとうございます。これからもよろしくお願いします。