Fibonacci 数列の加法定理と階段
※ 2021/4/11:参考文献の閲覧日を追記しました。
こんにちは。Math。です。
花粉症が中々治まってくれません。ツラいです…
さて,人生 2 回目となる記事のテーマは 「Fibonacci 数列の加法定理」です。数式入力の練習を兼ねて書いていこうと思います。
いくつかのサイトを見ていると,この定理は数学的帰納法で証明されるようです。なので,ここでは趣向を変えて,Fibonacci 数列と階段との関係を用いて証明してみます。
Fibonacci 数列
あまりにも有名な数列なので,ここで説明する必要もない気がしますが,今回は数式入力の練習も兼ねているので書いておきます。
Fibonacci 数列 とは,
で定まる数列のことです。
よく知られたように,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … と続きます。
さて,この Fibonacci 数列は次のような性質をもっています。
段の階段を 1 段または 2 段ずつ上る方法は 通り。
0 段の階段はないので, とします。
段の階段の上り方の数を とおきます。, です。また,便宜上, と定めておきます。
次に, 段の階段を次の 2 通りに分けて数えます。
(i)初めの 1 歩を 1 段で上る場合この場合,残り 段を上ればよいので,その上り方は 通りあります。
(ii)初めの 1 歩を 2 段で上る場合この場合,残り 段を上ればよいので,その上り方は 通りあります。
(i)と(ii)より, 段の階段の上り方について が成り立ちます。この漸化式は,Fibonacci 数列が満たす漸化式 と同じ形をしています。しかも , ですから,より一般に, が成り立ちます。
したがって, 段の階段の上り方は 通りです。■
この性質についてはさまざまなサイトで証明されているので,分かりづらかった方はそちらも参照していただければと思います。
ここでは,この性質を「階段性質」とよぶことにします。
加法定理
三角関数の加法定理のように,Fibonacci 数列にも加法定理が成り立ちます。
ただし,添え字が 0 以下とならないように , としておきます。
では早速,階段性質を用いて証明してみます。
段の階段を考えます。階段性質より,この階段の上り方は 通りです。これを次の 2 通りに分けて数えます。
(i) 段目を踏む場合階段性質より, 段目までの上り方は 通りです。そこからさらに 段目までは 段上ればよいので,その上り方は 通りです。よって, 段目を踏む場合の上り方は全部で 通りあります。
(ii) 段目を踏まない場合階段性質より, 段目までの上り方は 通りです。そこから 歩で 段上り, 段目に来ます。そこから 段目までは 段上ればよいので,その上り方は 通りです。よって, 段目を踏まない場合の上り方は全部で 通りあります。
(i)と(ii)より, が成り立ったので証明できたと思いきや,これだけでは不十分です。
なぜなら, や の場合,(i)や(ii)の中に 0 段の階段が登場してしまうからです。
よって,それらの場合だけ別に証明しておきます。
の場合,
となり,定理が成り立ちます。同様に, の場合,
となり,定理が成り立ちます。
以上で,, に対して加法定理が成り立ちます。■
おわりに
それにしても Fibonacci 数列,本当に有名ですね。少し調べるだけでも山ほど関連サイトが出てきます。中には中学入試に関するものもあって驚きました。
それだけ記事が書かれる理由はやはり,単純な数列に見えて実は,自然界の至るところに現れたり,黄金比と関係していたりと,とにかく関連する話題が尽きないからでしょうか。
数式入力の良い練習にもなったので,今回はこのあたりで失礼します。
参考文献
- 階段上りとフィボナッチ数列と場合分け|中学受験プロ講師ブログ(閲覧日:2021/4/11)
- フィボナッチ数列の性質6 - すぐる学習会 -(閲覧日:2021/4/11)