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Alexander の補題

こんにちは。Math。です。

位相幾何学に関する命題の一つに,「Alexander の補題」とよばれるものがあります。シンプルな内容ゆえに忘れてしまいがちなんですが,意外と重要な命題なので備忘録として書いておきます。

Alexander の補題

 n 次元球に同相な 2 つの位相空間の間の写像に関する命題で,証明もそこまで難しくないです。以下, A,B位相空間 D ^ n n 次元単位球とします。

Alexander の補題

 A,B\cong D ^ n とするとき,同相写像  h: \partial A\to\partial B同相写像  \bar{h}:A\to B に拡張されます。

ここで, \cong は同相であること, \partial X位相空間  X の境界を表します。また,写像  h:\partial A\to\partial B写像  \bar{h}:A\to B に拡張されるとは, \bar{h}\rvert_{\partial A}=h が成り立つことをいいます。

では,証明していきます。

証明

まず, A=B=D ^ n の場合を証明します。そこで, D ^ n

 
        D^n = \{ tx \mid x \in \partial D^n, \ 0 \le t \le 1 \}

と表すことにします。このとき,同相写像  h:\partial D ^ n\to\partial D ^ n と任意の  tx\in D ^ n に対して,


        \bar{h}(tx) := t \cdot h(x)

写像  \bar{h}:D ^ n\to D ^ n を定義します。

ここで,原点  0\in D ^ n t=0)では  x\in\partial D ^ n不定性がありますが, \bar{h}(0)=0 なので問題ありません。つまり, \bar{h} は well-defined です。

同様にして,

 
        \bar{h'}(tx) := t \cdot h^{-1}(x)

で定義された写像  \bar{h'}:D ^ n\to D ^ n も well-defined です。

すると,その定め方から  \bar{h} \bar{h'} は互いに逆写像であり,かつ,どちらも連続です。すなわち, \bar{h}同相写像です。しかも,任意の  x\in\partial D ^ n t=1)に対して


        \bar{h}\rvert_{\partial D^n}(x) = \bar{h}(x) = h(x)

ですから, h \bar{h} に拡張されました。

以上を踏まえた上で,一般の  A,B\cong D ^ n の場合を証明します。

 A D ^ n と同相なので,同相写像  f:A\to D ^ n が存在します。また, f\rvert _ {\partial A}:\partial A\to\partial D ^ n同相写像となります。

 B についても同様に,同相写像  g:B\to D ^ n が存在し, g\rvert _ {\partial B}:\partial B\to\partial D ^ n同相写像となります。

このとき,同相写像  h:\partial A\to\partial B に対して,


        k := g\rvert_{\partial B} \circ h \circ (f\rvert_{\partial A})^{-1}

写像  k:\partial D ^ n\to\partial D ^ n を定義します。同相写像たちの合成なので  k同相写像です。よって,先ほどの議論により, k同相写像  \bar{k}:D ^ n\to D ^ n に拡張されます。

この  \bar{k} に対して,


        \bar{h} := g^{-1} \circ \bar{k} \circ f

写像  \bar{h}:A\to B を定めると,これは  h の拡張になっています。

実際,同相写像たちの合成なので, \bar{h}同相写像であることは明らかです。また,任意の  x\in\partial A に対して,

 \begin{align}
        \bar{h}\rvert_{\partial A}(x) &= (g^{-1} \circ \bar{k} \circ f)\rvert_{\partial A}(x)\\
        &= (g\rvert_{\partial B})^{-1} \circ \bar{k}\rvert_{\partial D^n} \circ f\rvert_{\partial A}(x)\\
        &= (g\rvert_{\partial B})^{-1} \circ k \circ f\rvert_{\partial A}(x)\\
        &= h(x)
    \end{align}

なので  \bar{h}\rvert_{\partial A}=h が成り立ちます。■

おわりに

私は “Alexander” を「アレクサンダー」と発音しています。

音楽バンドの [Alexandros] を「アレキサンドロス」と発音するせいか,初めの頃は「アレサンダー」と読んでいました1。しかし,ほとんどのサイトで「アレサンダー」と書かれていたのでそちらに合わせましたが,イマイチ正しい発音が分かりません…

もしかしたら,どちらも正しい発音なのかもしれません。海外の人名に詳しい方や分かる方がいらっしゃれば,ぜひ教えてください。

参考文献

  • D. Rolfsen, Knots and Links, AMS Chelsea Publishing, vol. 346, 1976, p.10

  1. 『FF 零式』に「アレキサンダー」っていう言葉が出ていたような気もするので,その影響もあるかもしれません。