Alexander の補題

こんにちは。Math。です。

位相幾何学に関する命題の一つに，「Alexander の補題」とよばれるものがあります。シンプルな内容ゆえに忘れてしまいがちなんですが，意外と重要な命題なので備忘録として書いておきます。

$n$ 次元球に同相な 2 つの位相空間の間の写像に関する命題で，証明もそこまで難しくないです。以下， $A,B$ を位相空間， $D ^ n$ を $n$ 次元単位球とします。

Alexander の補題

$A,B\cong D ^ n$ とするとき，同相写像 $h: \partial A\to\partial B$ は同相写像 $\bar{h}:A\to B$ に拡張されます。

ここで， $\cong$ は同相であること， $\partial X$ は位相空間 $X$ の境界を表します。また，写像 $h:\partial A\to\partial B$ が写像 $\bar{h}:A\to B$ に拡張されるとは， $\bar{h}\rvert_{\partial A}=h$ が成り立つことをいいます。

では，証明していきます。

証明

まず， $A=B=D ^ n$ の場合を証明します。そこで， $D ^ n$ を

$D^n = \{ tx \mid x \in \partial D^n, \ 0 \le t \le 1 \}$

と表すことにします。このとき，同相写像 $h:\partial D ^ n\to\partial D ^ n$ と任意の $tx\in D ^ n$ に対して，

$\bar{h}(tx) := t \cdot h(x)$

で写像 $\bar{h}:D ^ n\to D ^ n$ を定義します。

ここで，原点 $0\in D ^ n$ （ $t=0$ ）では $x\in\partial D ^ n$ に不定性がありますが， $\bar{h}(0)=0$ なので問題ありません。つまり， $\bar{h}$ は well-defined です。

同様にして，

$\bar{h'}(tx) := t \cdot h^{-1}(x)$

で定義された写像 $\bar{h'}:D ^ n\to D ^ n$ も well-defined です。

すると，その定め方から $\bar{h}$ と $\bar{h'}$ は互いに逆写像であり，かつ，どちらも連続です。すなわち， $\bar{h}$ は同相写像です。しかも，任意の $x\in\partial D ^ n$ （ $t=1$ ）に対して

$\bar{h}\rvert_{\partial D^n}(x) = \bar{h}(x) = h(x)$

ですから， $h$ は $\bar{h}$ に拡張されました。

以上を踏まえた上で，一般の $A,B\cong D ^ n$ の場合を証明します。

$A$ は $D ^ n$ と同相なので，同相写像 $f:A\to D ^ n$ が存在します。また， $f\rvert _ {\partial A}:\partial A\to\partial D ^ n$ は同相写像となります。

$B$ についても同様に，同相写像 $g:B\to D ^ n$ が存在し， $g\rvert _ {\partial B}:\partial B\to\partial D ^ n$ は同相写像となります。

このとき，同相写像 $h:\partial A\to\partial B$ に対して，

$k := g\rvert_{\partial B} \circ h \circ (f\rvert_{\partial A})^{-1}$

で写像 $k:\partial D ^ n\to\partial D ^ n$ を定義します。同相写像たちの合成なので $k$ は同相写像です。よって，先ほどの議論により， $k$ は同相写像 $\bar{k}:D ^ n\to D ^ n$ に拡張されます。

この $\bar{k}$ に対して，

$\bar{h} := g^{-1} \circ \bar{k} \circ f$

で写像 $\bar{h}:A\to B$ を定めると，これは $h$ の拡張になっています。

実際，同相写像たちの合成なので， $\bar{h}$ が同相写像であることは明らかです。また，任意の $x\in\partial A$ に対して，

$\begin{align} \bar{h}\rvert_{\partial A}(x) &= (g^{-1} \circ \bar{k} \circ f)\rvert_{\partial A}(x)\\ &= (g\rvert_{\partial B})^{-1} \circ \bar{k}\rvert_{\partial D^n} \circ f\rvert_{\partial A}(x)\\ &= (g\rvert_{\partial B})^{-1} \circ k \circ f\rvert_{\partial A}(x)\\ &= h(x) \end{align}$