Math Mar∞m

自由気ままに，書いていきます。

加群の定義と例

数学

こんにちは。Math。です。

普段，数学をやっていても加群って全く使わない（あるいは意識していない）ので，いざ出てくると定義とかすっかり忘れてしまっています。

ということで，今回は加群についてです。

加群

$R$ を（単位的）環， $M$ を可換群とします。また， $1\in R$ を単位元とします。

加群

写像 $\cdot:R\times M\ni(r,x)\mapsto r\cdot x\in M$ （ $r\cdot x$ を $rx$ と書きます）が次を満たすとき，組 $(M,\cdot)$ を左 $R$ -加群といいます。

$\forall r\in R$ ， $\forall x,y\in M$ ， $r(x+y)=rx+ry$
$\forall r,r'\in R$ ， $\forall x\in M$ ， $(r+r')x=rx+r'x$ ， $(rr')x=r(r'x)$
$\forall x\in M$ ， $1x=x$

右 $R$ -加群というものもありますが，特に断らない限り，以下では左 $R$ -加群のことを単に $R$ -加群と書きます。

$R$ -加群の定義は， $r\in R$ を決めるたびに写像 $M\ni x\mapsto rx\in M$ が定まると考えることもできます。すなわち， $M$ が $R$ -加群であるということを「環準同型写像 $\varphi:R\to\mathop{\mathrm{End}}M$ が定まること」と定義できます。

では，条件 i〜iii による定義を定義 1，環準同型写像による定義を定義 2 とするとき，これらの同値性を証明してみます。

同値性の証明

定義 1 を採用したとき，各 $r\in R$ に対して

$\varphi(r)(x) := rx$

で写像 $\varphi(r):M\to M$ を定めます。

このとき，条件 i より $\varphi(r)$ は準同型写像です。また，条件 iii より $\varphi(1)=\mathrm{id}_M$ （ $\mathop{\mathrm{End}}M$ の単位元）です。

さらに，条件 ii によって，任意の $r,r'\in R$ ， $x\in M$ に対して，

$\begin{align} \varphi(r+r')(x) &= (r+r')x\\ &= rx + r'x\\ &= \varphi(r)(x) + \varphi(r')(x)\\ &= (\varphi(r) + \varphi(r'))(x) \end{align}$

および

$\begin{align} \varphi(rr')(x) &= (rr')x\\ &= r(r'x)\\ &= \varphi(r)(\varphi(r')(x))\\ &= (\varphi(r)\varphi(r'))(x) \end{align}$

なので， $\varphi(\cdot):R\to\mathop{\mathrm{End}}M$ は環準同型写像です。よって，環準同型写像が定まりました。

一方，定義 2 を採用したとき，環準同型写像 $\varphi:R\to\mathop{\mathrm{End}}M$ に対して，

$(r,x) \mapsto rx := \varphi(r)(x)$

で写像 $R\times M\to M$ を定めます。

このとき， $\varphi(r)$ が準同型であることから条件 i が成り立ちます。また， $\varphi$ が環準同型であることから条件 ii，iii が成り立ちます。

したがって，定義 1 を採用すれば定義 2 の条件が，定義 2 を採用すれば定義 1 の条件がそれぞれ得られるので，この 2 つの定義は同値です。■

これより，どちらの定義を採用しても問題ないことが保証されました。なお，ここでは定義 1 のほうを採用します。

加群の例

環 $R$ はそれ自身で $R$ -加群です。当然と言えば当然で，環は加法について可換群ですし，結合則や分配法則も成り立つので，条件 i～iii を全て満たします。ほかにも，環 $R$ の任意のイデアルは $R$ -加群です。

もう少し具体的な例を挙げると，実数（複素数）係数の $n$ 次正方行列からなる環 $M _ n$ に対して， $n$ 次元実（複素）ベクトル空間 $V _ n$ は $M _ n$ -加群です。

実際，単位行列 $E _ n\in M _ n$ と任意の行列 $A,B\in M _ n$ ，ベクトル $x,y\in V _ n$ に対して，

$A(x+y)=Ax+Ay$
$(A+B)x=Ax+Bx$ ， $(AB)x=A(Bx)$
$E _ nx=x$

が成り立ちます。

零因子の存在

環 $R$ の元 $r$ に対して， $rr'=0$ となる非零元 $r'\in R$ が存在するとき， $r$ を零因子といいます。

特に，環によっては非零元同士の積が 0 になることもあります。それと似たようなことが， $R$ -加群 $M$ でも起こり得ます。

すなわち，ある $r\in R$ （ $r\ne 0$ ）と $x\in M$ （ $x\ne 0$ ）に対して， $rx=0$ ということが起こり得ます¹。

例えば，実数係数の 2 次正方行列からなる環 $M _ 2$ と，2 次元実ベクトル空間 $V _ 2$ について，非零な元として

$A=\begin{pmatrix}-2 & 1\\ 2 & -1\end{pmatrix}, \quad x=\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}$

をとってくれば $Ax=0$ が成り立ちます。

したがって，一般に $rx=0$ だからと言って「 $r=0$ または $x=0$ 」と言うことはできません。

おわりに

「 $rx=0$ かつ $x\ne 0$ のときに $r=0$ が成り立つかどうか」という疑問から今回，加群を復習しようと思い立った次第です。

結論から言うと，前節の最後に書いたように， $rx=0$ かつ $x\ne 0$ だとしても $r=0$ とは限りません。

そりゃそうかって感じもするんですが，久々に加群を復習できたので結果としては良かったです。

全ての加群で起こるとは限りません。↩